為什麼 $\XOR$, $\XNOR$, $\AND$ 與 $\OR$ 不是通用邏輯閘？

有學過一點程式的人應該對邏輯運算 $\AND$, $\OR$, $\NOT$ 都不陌生，許多程式還有支援 $\XOR$。其中 $\AND$, $\OR$, $\XOR$ 可視為從 $\{0,1\}^2 = \{(0,0),(0,1),(1,0), (1,1)\}$ 打到 $\{0,1\}$ 的函數。比如 $\AND$ 的定義就是 $$\AND(0,0)=0,\ \AND(0,1)=0,\ \AND(1,0)=0,\ \AND(1,1)=1。$$ 類似地，$\OR$ 在 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 上的取值依序為 $0,1,1,1$，$\XOR$ 為 $0,1,1,0$。 而 $\NOT$ 是從 $\{0,1\}$ 打到 $\{0,1\}$ 的函數，其作用為 $\NOT(0)=1$, $\NOT(1)=0$。

為什麼期望值可以直接相加？

§1  例子

在高中機率中有一類求期望值的問題$\renewcommand{\{}{\raise 2px{\lbrace}} \renewcommand{\}}{\raise 2px{\rbrace}}$，它們除了正常的做法之外，還有一個聰明的做法。正常的做法非常繁瑣，讓人望而卻步，而聰明的做法則是輕輕鬆鬆就可以把答案算出來，但似乎特別依賴直覺。