回到問題:在抽籤之前,排哪個順位重要嗎?直覺上應該是不會有差別才對,但有時候又覺得毛毛的,讓我們直接算幾個來看看。首先,第一個抽的人,抽中紅籤的機率不用說就是 3/20。第二個抽的,可以分成第一個人抽到紅籤跟第一個人抽到白籤兩種情形,也就是前兩支籤為「紅紅」或「白紅」,機率為:320⋅219+1720⋅319=320.
果然還是 3/20,不過只看前兩個似乎不太保險,我們再算算看第三個人抽到紅籤的機率。分成四種可能:紅紅紅、紅白紅、白紅紅、白白紅,依此計算機率為:320⋅219⋅118+320⋅1719⋅218+1720⋅319⋅218+1720⋅1619⋅318=320.
太好了!雖然只算了前三個人,但這麼剛好都是 3/20,看起來抽籤的順序的確不會影響機率。不過,如果真的要給出一個完整的證明,怎麼做呢?如果像上面這樣把前幾次可能的結果一一考慮,再推算出下一次中籤的機率,到後面會越來越難算。有沒有更簡單的算法?有的,一個好方法是將所有可能發生的情形列出來,然後看看我們要問的情形佔所有可能的比例即可。說明如下。
抽籤的過程可以看成是把籤從籤筒中一支一支抽出來照順序排好。注意到,雖然對於我們的問題來說只要抽出最後一個紅籤就可以結束,但如果我們堅持把 20 支籤全抽完,其實也沒關係。因此,抽完籤的每一種可能結果等同於 20 支籤的一個排列,共有 20! 種方法。這樣來看,很直覺就可以看出每個順位的地位都是相同的,沒有誰比誰更容易中紅籤。事實上我們可以直接計算:任意第 k 位是紅籤的排例方式皆為 C3119! 種,其中 C31 指的是三支紅籤選一支放在第 k 個位置,然後 19! 就是剩下 19 支籤在其餘的位置隨意排列的方法數。因此任意第 k 位為紅籤的機率為 C3119!/20!=3/20。
所以說,每次抽中紅籤的機率有多大,完全由一開始籤筒中的佔比來決定,其他都沒有影響。我們可以把問題弄得看似更複雜,比如:「箱中有 7 顆紅球 12 顆白球,每次隨機取一球不放回,打算取出 9 顆球,問第 5 顆球為白球的機率是多少?」現在我們知道,總共要取「9」顆,然後問第「5」顆的機率,都是故弄玄虛,無論如何,由於白球佔全部的 12/19,每次取得白球的機率就是 12/19。
謝謝
回覆刪除