抽籤的順序重要嗎？

小明班上有 20 個人，要抽籤選出 3 個值日生，因此準備了 20 支籤，其中 3 支有紅色標記稱為紅籤，17 支沒有標記稱為白籤。現在大家先排好順序，準備按照順序抽，抽完的籤不丟回籤筒，直到把三個紅籤都抽出來（剩下的都是白籤，也沒有繼續抽的必要）。問：抽籤的順位是否會影響抽中紅籤的機率？比如說，第一個抽籤的同學跟第三個抽籤的同學，抽中紅籤的機率會有所不同嗎？注意，這裡是指「還沒抽籤之前」，預期接下來每個順位的同學抽中紅籤的機率。如果已經開始抽籤，前面抽出的籤自然會影響後面的機率。

回到問題：在抽籤之前，排哪個順位重要嗎？直覺上應該是不會有差別才對，但有時候又覺得毛毛的，讓我們直接算幾個來看看。首先，第一個抽的人，抽中紅籤的機率不用說就是 $3/20$。第二個抽的，可以分成第一個人抽到紅籤跟第一個人抽到白籤兩種情形，也就是前兩支籤為「紅紅」或「白紅」，機率為：$$\frac{3}{20}\cdot\frac{2}{19}+\frac{17}{20}\cdot\frac{3}{19}=\frac{3}{20}\,.$$果然還是 $3/20$，不過只看前兩個似乎不太保險，我們再算算看第三個人抽到紅籤的機率。分成四種可能：紅紅紅、紅白紅、白紅紅、白白紅，依此計算機率為：$$\frac{3}{20}\cdot\frac{2}{19}\cdot\frac{1}{18}+\frac{3}{20}\cdot\frac{17}{19}\cdot\frac{2}{18}+\frac{17}{20}\cdot\frac{3}{19}\cdot\frac{2}{18}+\frac{17}{20}\cdot\frac{16}{19}\cdot\frac{3}{18}=\frac{3}{20}\,.$$ 太好了！雖然只算了前三個人，但這麼剛好都是 $3/20$，看起來抽籤的順序的確不會影響機率。不過，如果真的要給出一個完整的證明，怎麼做呢？如果像上面這樣把前幾次可能的結果一一考慮，再推算出下一次中籤的機率，到後面會越來越難算。有沒有更簡單的算法？有的，一個好方法是將所有可能發生的情形列出來，然後看看我們要問的情形佔所有可能的比例即可。說明如下。

抽籤的過程可以看成是把籤從籤筒中一支一支抽出來照順序排好。注意到，雖然對於我們的問題來說只要抽出最後一個紅籤就可以結束，但如果我們堅持把 20 支籤全抽完，其實也沒關係。因此，抽完籤的每一種可能結果等同於 20 支籤的一個排列，共有 $20!$ 種方法。這樣來看，很直覺就可以看出每個順位的地位都是相同的，沒有誰比誰更容易中紅籤。事實上我們可以直接計算：任意第 $k$ 位是紅籤的排例方式皆為 $C^3_1 19!$ 種，其中 $C^3_1$ 指的是三支紅籤選一支放在第 $k$ 個位置，然後 $19!$ 就是剩下 $19$ 支籤在其餘的位置隨意排列的方法數。因此任意第 $k$ 位為紅籤的機率為 $C^3_1 19!/20! = 3/20$。

所以說，每次抽中紅籤的機率有多大，完全由一開始籤筒中的佔比來決定，其他都沒有影響。我們可以把問題弄得看似更複雜，比如：「箱中有 7 顆紅球 12 顆白球，每次隨機取一球不放回，打算取出 9 顆球，問第 5 顆球為白球的機率是多少？」現在我們知道，總共要取「9」顆，然後問第「5」顆的機率，都是故弄玄虛，無論如何，由於白球佔全部的 $12/19$，每次取得白球的機率就是 $12/19$。