極限的定義在說什麼？

$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$ 意味著數列 $a_n$ 隨著 $n$ 變大會無止境地往 $L$ 靠近。直觀地理解這件事並不難，但如果真的要「證明」一個關於極限的陳述時，到底要檢查什麼？舉個簡單的例子： $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = A\ \ \ \&\ \ \ \lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\ \ \Rightarrow\ \ \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) = A+B\label{1}\tag{1}$$ 這很顯然，但說它「顯然成立」，顯然不是一個證明。能說得更清楚嗎？「因為 $a_n$ 往 $A$ 靠近，$b_n$ 往 $B$ 靠近，因此 $a_n+b_n$ 會往 $A+B$ 靠近。」這樣呢？聽起來沒錯，但好像只是用白話說一次，這樣算證明嗎？仔細想想，會發現這裡我們所遇到的困難，並不是「不會證明」，而是「不知道怎麼樣算是證明」。