其中『某條件』必須是可以確實檢查的事項，而不能只是直覺式的概念。只有建立了這樣的定義，我們才能知道證明到底是要證什麼。如果『某條件』成立，則我們說 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$。
在繼續討論之前，需要先釐清一件事。我們有時會用「$a_n$ 跟 $L$ 很近」（或者說「$|a_n-L|$ 很小」）這樣的說法，這其實有一點語病。當我們說「$a_n$ 跟 $L$ 很近」，並不是指某一項 $a_n$ 跟 $L$ 很近，而是要表達「整個數列到了第 $n$ 項之後都跟 $L$ 很近」，這很重要。比如說 $1,0,1,0,1,0,\ldots$ 這個數列，它的偶數項都跟 $0$ 很近 (其實就是 $0$)，但我們不能說它的極限是 $0$，因為奇數項完全沒有往 $0$ 靠近的意思。因此，你可以找到某一項 $a_n$ 跟 $L$ 很近，甚至是無窮多項 $a_n$ 跟 $L$ 很近，並沒有用。重要的是能找到某個 $a_n$，從那之後的每一項：$a_{n+1},a_{n+2},\ldots$ 都跟 $L$ 很近。用數學的語言來說，就是說像「$|a_{100}-L|<0.01$」這樣的資訊並沒有什麼意義，而是要「$|a_n-L|<0.01$ 對所有的 $n\ge 100$」才有意義。雖然如此，為了方便，我們偶爾還是會使用「$a_n$ 跟 $L$ 很近」這樣的說法，但請記得它真正想表達的是從第 $n$ 項之後都很近。
回到我們的主題。極限的定義對初學者來說不太容易掌握。究其原因，我認為癥結點可能在於思考的「順序」。一般我們在看到 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$ 時，直覺的想法是「當 $n$ 很大，$a_n$ 會跟 $L$ 很近。」這樣的想法或許不能說錯，但卻無法給出可實際檢查的條件，因為無論 $n$ 多大，我們無法從 $a_n$ 與 $L$ 的距離做出任何判斷。並沒有一個標準說，如果 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$，那 $|a_{100}-L|$ 應該多小，$|a_{1000}-L|$ 應該多小，$|a_{10000}-L|$ 應該多小……。事實上，收斂速度這種東西要多慢就可以有多慢。比如考慮下面這樣的數列：$$a_n = \left\{\begin{array}{l}\pi\mbox{ 的小數點後第 }n\mbox{ 位}, \quad \mbox{當 }n\le 10000\\ 1/n, \quad \mbox{當 }n>10000.\end{array}\right.$$它的極限當然是 $0$，但前 $10000$ 項只是在惡搞。像這樣，很容易構造出一個收斂數列，它的前十萬項、百萬項、一億項……任意你高興的項數，與它的極限相去甚遠。所以怎麼辦？到底如何鑑定一個數列是否收斂？我說問題在於思考的「順序」。想想看，我們雖然不能說 $n$ 多大會讓 $|a_n-L|$ 很小，但如果 $a_n$ 確實收斂到 $L$，只要一直往後看，$|a_n-L|$ 總是會在「某個 $n$ 之後」變得很小才對。也就是說，不要想「如果 $n$ 很大，$|a_n-L|$ 會很小」，而是改成「$|a_n-L|$ 會很小，只要 $n$ 夠大」。很巧妙地，換成後面這樣的思維方式，就變成了一個可確實檢查的條件。因為我們可以
然後，先說出希望 $|a_n-L|$ 有多小，再來回應 $n$ 需要多大。
如果每個希望都能得到回應，就表示 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$ 成立，反之，只要有一個希望得不到回應，就表示不成立。下面用一個虛擬的對話來演示這個邏輯。
小明跟小美說：「我這裡有一個數列 $a_n$，它的極限是 $L$。」小美想要確定小明是不是對的，於是問：「$|a_n-L|$ 會小於 $0.1$ 嗎？」小明看了一下，說：「可以，只要 $n\ge 21$。」小美又問：「$|a_n-L|$ 會小於 $0.005$ 嗎？」小明又檢查了一下，說：「可以，只要 $n\ge 753$。」小美還不死心，想一次給他死，於是問：「$|a_n-L|$ 會小於 $10^{-10}$ 嗎？」小明這時沒辦法再算得那麼精確了，但經過一番奮鬥，他終於還是得出了結論：「可以，只要 $n\ge 10^{12}$。」小美終於被說服了。注意小明給的回應都是「$n\ge $ 某數」，這個「某數」不一定要給得很剛好，比如說最後的 $n\ge 10^{12}$，也許 $n\ge 10^{11}$ 其實就夠了。不過這不重要，重要的是能確定從某一項之後小美的要求會滿足就好。不過話說回來，小美最後被說服，還是有點太輕率了。因為 $a_n$ 跟 $L$ 能靠近到 $10^{-10}$ 之內，未必就能靠近到 $10^{-11}$ 之內；如果能靠近到 $10^{-100}$ 之內，也未必就能靠近到 $10^{-101}$ 之內。我們說極限是「無止境地靠近」，因此，要真正確定 $a_n$ 的極限是 $L$，小明必須能回應「任意」的要求，也就是說：
無論 $\varepsilon$ 是多小的正數，只要小美要求 $|a_n-L|<\varepsilon$，小明都要能找到一個夠大的正整數 $N$，使得數列從第 $N$ 項之後都會滿足小美的要求。把這件事用精簡的數學語言寫下來，就得到數列極限的定義了：
定義 如果對任意 $\varepsilon>0$，存在正整數 $N$，使得 $|a_n-L|<\varepsilon$ 對所有的 $n\ge N$，則我們說 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$。看到這裡，可以停下來稍微感動一下。這樣看似平凡的一個陳述，乃是經歷了好幾代數學家的思索才得到（參考文末所附的簡史）。
弄懂了數列極限的定義，函數極限也就沒太大困難了。下面我們以 $\ f:(a,b)\to\mathbb{R}$ 來說明。令 $p$ 為 $(a,b)$ 中的一點，我們說 $\lim\limits_{x\to p}f(x) = L$，意味著「當 $x$ 趨近於 $p$，$f(x)$ 會無止境地往 $L$ 靠近。」這裡要注意，我們看的是 $x$ 往 $p$ 靠近時，$f(x)$ 的趨勢，而不在意 $f(p)$ 本身是什麼。這就好像數列極限我們是看當 $n$ 變大，$a_n$ 的趨勢，並不在意 $a_\infty$ 是什麼。事實上，在數列中根本也沒有 $a_\infty$ 這一項。然而對函數來說，真的有 $f(p)$ 這東西，所以反而會造成混淆。
現在，就像數列極限一樣，不要把 $\lim\limits_{x\to p}f(x) = L$ 想成 $x$ 很靠近 $p$ 時 $|f(x)-L|$ 會很小，這給不出具體的條件。反過來，將其理解為「$|f(x)-L|$ 會很小，只要 $x$ 足夠靠近 $p$」。因此，檢驗的方式就是先說我們希望 $|f(x)-L|$ 多小，再看 $x$ 與 $p$ 需要多靠近。如果任何這樣的要求都能達成，那上述極限就成立，如果某個要求無法達成，那就不成立。另外，也跟數列極限一樣，你能在 $p$ 附近找到某個 $x$ 或很多 $x$ 使得 $|f(x)-L|$ 很小並沒有意義。我們要的是「對所有足夠靠近 $p$ 的 $x$，$|f(x)-L|$ 都很小」。因此，必須要找到 $p$ 點附近的一個範圍，比如 $(p-0.1,p+0.1)$、$(p-0.01,p+0.01)$ 之類的，在這之內的所有 $x$，除了 $p$ 之外（因為 $f(p)$ 是誰我們不在意），都會讓 $|f(x)-L|$ 很小。我們可以弄一個類似上面小明與小美的虛擬對話，不過這裡就把它省去吧。直接給結論：
如果小明要說服小美 $\lim\limits_{x\to p}f(x)=L$，那麼就是說，無論 $\varepsilon$ 是多小的正數，只要小美要求 $|f(x)-L|<\varepsilon$，小明都要能找到一個在 $p$ 附近足夠小的範圍 $(p-\delta,p+\delta)$，使得對所有在這範圍中的 $x$，除了 $x=p$ 之外，都滿足小美的要求。另外注意到，「$x$ 落在 $(p-\delta,p+\delta)$ 之間但 $x\ne p$」可以寫成 $0<|x-p|<\delta$。這樣，把上面的結論用精簡的數學語言寫下，我們就得到函數極限的定義，如下：
定義 如果對任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得 $|f(x)-L|<\varepsilon$ 對所有滿足 $0<|x-p|<\delta$ 的 $x$ 皆成立，則我們說 $\lim\limits_{x\to p}f(x)=L$。這就是
到這裡我們的說明就算大功告成了。不過即使弄懂了定義，要熟練地使用它們來進行論證仍然不是一件容易的事。一般數學系也要到大二之後才會嚴格要求，但即使如此，如果不是把成為數學家當作目標的學生，通常到畢業了也不會真正熟練這些東西。下面附上 $\eqref{1}$ 的證明以供參考。
[$\eqref{1}$ 的證明] 對任給的 $\varepsilon>0$，我們需要證明存在某個 $N\in\mathbb{N}$，使得$$|(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon\quad\forall\,n\ge N.$$首先，$$\begin{align}|(a_n+b_n)-(A+B)|&=|(a_n-A)+(b_n-B)|\notag\\&\le |a_n-A|+|b_n-B|.\label{2}\tag{2}\end{align}$$由於 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，存在某個 $N_1\in\mathbb{N}$，使得$$|a_n-A|<\varepsilon/2\quad\mbox{對所有的 }n\ge N_1\mbox{。}$$同樣地，因為 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，存在 $N_2\in\mathbb{N}$ 使得$$|b_n-B|<\varepsilon/2\quad\mbox{對所有的 }n\ge N_2\mbox{。}$$現在，只要挑選 $N$ 同時大於等於 $N_1$ 及 $N_2$，則對所有的 $n\ge N$，上面兩個不等式都會成立。比如令 $N=\max(N_1,N_2)$。 這樣，就得到$$|a_n-A|+|b_n-B|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon\quad\mbox{對所有的 }n\ge N.\label{3}\tag{3}$$合併 $\eqref{2}$ 與 $\eqref{3}$ 就得到我們所要的結論。
最後分享一些關於極限的歷史，從中可看出這東西確實不是那麼簡單。當然，數學家是要無中生有把這個定義想出來，難度比單純地理解它高得多。$\raise 2px {\large\S}$ 極限簡史
- 在微積分剛發明的時候 (大約 1680 年)，連「微分、積分是取極限得出的值」這樣的想法都不明確。比如萊布尼茲說 $$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$其中 $h$ 是無窮小量 (infinitesimal)。
- 1734 年，一個名叫 George Berkeley 的哲學家對「無窮小量」提出質疑。簡單一句話：「它到底是不是零？」數學家表示困窘。
- 隨著時間推移，越來越多人理解、認同、宣揚微積分是建立在極限概念之上的學問。這基本上已解決柏克萊的質問：我們並沒有真的除以什麼鬼無窮小量，只是除以一個很小的量，然後看那個量往 0 靠近會發生什麼事。但雖然有「取極限」的想法，對其並沒有嚴格的定義，可能也不需要。
- 隨著時間再推移，數學家處理的問題越來越複雜，比如要考慮多重極限 $\lim\limits_{m,n\to \infty}a_{mn}$、函數序列的極限 $\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)$ 等等，開始有一些微妙的問題發生（這類問題比較深，無法在此談論）。於是有些人對長久以來一直用直覺做事開始感到不舒服。Lagrange 也許是第一個認真地覺得這件事不處理不行的大咖。他自己想不出滿意的答案，還廣發英雄帖，在 1784 年的 Berlin Academy Prize，以「微積分的基礎」為主題徵文，希望有人能把（包含極限在內的）一些微積分相關的東西定義清楚。結果據說有些人講得不錯，但仍不完全令人滿意。
- 以現代的標準來看，第一個在這方向上給出正確陳述的人是 Bolzano。他在 1817 年一篇談「中間值定理」的論文中用「白話」定義了連續函數（而連續的概念是建立在極限的概念之上），雖然沒有什麼 $\varepsilon$-$\delta$ 之類的，但後人認為邏輯是完全正確的。可惜他並不在主流數學圈中活躍，當時沒什麼人知道。
-
第一個給極限定義 (也是比較白話) 並廣為流傳的人是柯西。柯西在 1820
年代為他在法國綜合理工學院開的課寫了許多教科書，影響深遠。裡面為許多基本的數學概念給出了(相較於過去)更精確的定義，包括極限、連續、微分與定積分等
(所謂的黎曼積分，其想法其實來自於柯西)。柯西也沒有給出所謂的
$\varepsilon$-$\delta$ 定義，但在他的一些證明中用到了 $\varepsilon$ 與 $\delta$
這兩個希臘字母，顯然因此影響了之後寫下定義的人。雖說如此，柯西到底算不算掌握了現代的極限定義，其實有很大的爭論。有人認為是，有人認為否，還有人認為柯西是採取了另一種思維，跟現代的定義不同但也是嚴謹的。我沒有能力去細究這件事。只能說，看古人寫的東西真的非常折磨。他們的用語跟說話方式都跟現代人不太一樣，常常讓人陷入「他到底在
供三小表達什麼？」的困惑中。也因為如此，連史學家之間都很難取得共識。但這不影響柯西在「微積分的嚴謹化」上崇高的地位。即使他講得不完美，對後人也深有啟發。 - 所謂的 $\varepsilon$-$\delta$ 定義，公認是由 Weierstrass 給出。最早的資料號稱是 1861 年 (離微積分發明已過了 180 年)，Schwarz 在他的課堂上所做的筆記。但我真的去看 Schwarz 的筆記內容（此頁面的Answer中有給），還是覺得並沒有講對，而且囉哩叭唆（這又呼應了我前面說的，看古人寫的東西真的非常折磨）。我們前面給的那種精練的寫法，究竟是 Weierstrass 在後來的其他著作中有確實給出，亦或只是從 Weierstrass 各式各樣的證明中看出來的，或是根本是其他人的貢獻，我無法找到資料。
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