為什麼 $\XOR$, $\XNOR$, $\AND$ 與 $\OR$ 不是通用邏輯閘？

我們先快速簡介一下邏輯閘。邏輯運算 $\AND$, $\OR$, $\XOR$ 可視為從 $\{0,1\}^2 = \{(0,0),(0,1),(1,0), (1,1)\}$ 對應到 $\{0,1\}$ 的函數。比如 $\AND$ 的定義是 $$\AND(0,0)=0,\ \AND(0,1)=0,\ \AND(1,0)=0,\ \AND(1,1)=1。$$ 類似地，$\OR$ 在 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 上的取值依序為 $0,1,1,1$，而 $\XOR$ 的取值為 $0,1,1,0$。另外還有一個重要的運算 $\NOT$，它是 $\{0,1\}$ 對應到 $\{0,1\}$ 的函數，定義為 $\NOT(0)=1$, $\NOT(1)=0$。

為什麼期望值可以直接相加？

§例子

有一種求期望值的問題\( \renewcommand{\{}{\raise 2px{\lbrace}} \renewcommand{\}}{\raise 2px{\rbrace}} \)，它們有兩種做法，一種我們稱之為正常做法，另一種我們稱為異常聰明做法。正常的做法非常麻煩，而聰明的做法則輕輕鬆鬆就可以把答案算出來，但它似乎特別依賴直覺…。

極限的定義在說什麼？

$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$ 意味著數列 $a_n$ 隨著 $n$ 變大會無止境地往 $L$ 靠近。直觀地理解這件事並不難，但如果真的要「證明」一個關於極限的陳述時，到底要檢查什麼？舉個簡單的例子：$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = A\ \ \ \&\ \ \ \lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\ \ \Rightarrow\ \ \lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) = A+B\label{1}\tag{1}$$ 這很顯然，但說它「顯然成立」，顯然不是一個證明。能說得更清楚嗎？「因為 $a_n$ 往 $A$ 靠近，$b_n$ 往 $B$ 靠近，因此 $a_n+b_n$ 會往 $A+B$ 靠近。」這樣呢？聽起來沒錯，但好像只是用白話說一次，這樣算證明嗎？仔細想想，會發現這裡我們所遇到的困難，並不是「不會證明」，而是「不知道怎麼樣算是證明」。

為什麼取後放回跟取後不放回的期望值一樣？

考慮下面的問題：

箱中有 2 顆紅球 3 顆白球。隨機取一球，若為紅球得 10 元獎金，若為白球得 20 元獎金。假使取後放回，連續玩兩次，問獎金期望值為何？若改成取後不放回，又如何？

抽籤的順序重要嗎？

小明班上有 20 個人，要抽籤選出 3 個值日生，因此準備了 20 支籤，其中 3 支有紅色標記稱為紅籤，17 支沒有標記稱為白籤。現在大家先排好順序，準備按照順序抽，抽完的籤不丟回籤筒，直到把三個紅籤都抽出來（剩下的都是白籤，也沒有繼續抽的必要）。問：抽籤的順位是否會影響抽中紅籤的機率？